En esta tercera parte calcularemos (¡por fin!) la temperatura de equilibrio. Hemos determinado ya que cada segundo la Tierra recibe $1.74 \times 10^{17}$ J. ¿Qué hace la Tierra con esta energía? En pocas palabras, se calienta. Y sabemos que un cuerpo caliente radia energía de acuerdo a la ley de Stefan-Boltzmann (¡la energía radiada aumenta con la cuarta potencia de la temperatura!). Supongamos que la Tierra tiene una temperatura $T_\oplus$ y que se comporta como un cuerpo negro (una suposición más que razonable a este nivel), entonces la potencia radiada al espacio (en general se usa la letra $L$ por luminosidad) es :
\[L_{emit} = \left(4 \pi R_\oplus^2\right) \sigma T_\oplus^4\]
donde $\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann y $\left(4\pi R_\oplus^2\right)$ es la superficie de la Tierra (aquí consideramos la superficie total de la Tierra y no sólo su sección transversal como en el caso de la energía absorbida).
La situación de equilibrio se da cuando la energía absorbida es igual a la energía radiada. Si hubiera un desequilibrio, los parámetros se ajustarán de forma tal de llegar a una nueva condición. Supongamos por ejemplo que por alguna razón aumenta la luminosidad solar $L_\odot$. En este caso, la energía que recibe la Tierra será mayor y esto lleva a un incremento de la temperatura, lo cual implica un aumento en la energía radiada. Esta condición de equilibrio es por tanto estable. Entonces:
\[E_{abs} = E_{emit}\]
Recordemos la expresión para $E_{abs}$ obtenida en la primera parte:
\[E_{abs} = \frac{L_\odot t}{4}\left ( \frac{R_\oplus}{R_{UA}\right )^2}\]
y puesto que Luminosidad es energía por unidad de tiempo,
\[L_{abs} = \frac{L_\odot}{4}\left ( \frac{R_\oplus}{R_{UA}\right )^2}\]
Por lo tanto, nuestra condición de equilibrio se da cuándo:
\[L_{abs} = L_{emit}\]
\[\frac{L_\odot}{4}\left ( \frac{R_\oplus}{R_{UA}\right )^2} = \left(4 \pi R_\oplus^2\right) \sigma T_\oplus^4\]
y luego despejando la temperatura $T_\oplus$ tenemos:
\[T_\oplus = \sqrt[4]{\frac{L_\odot}{16\pi\sigma}\frac{1}{R_{UA}^2}}\]
Antes de poner números, adelantemos algunas conclusiones:
- La temperatura es independiente del tamaño del planeta (notar que $R_\oplus$ se cancela)
- Aumenta con la raíz cuarta de la Luminosidad solar, y disminuye con la raíz cuadrada de la distancia.
- La ecuación es valida para cualquier sistema estrella-planeta, y se usa entre otras cosas para determinar la llamada "zona de habitabilidad", definida como la región orbital en la cual la temperatura hace que el agua permanezca líquida (entre 0°C y 100°C).
Ahora si, develemos el misterio:
\[ T_\oplus = \sqrt[4]{\frac{3.85 \times 10^{26} \mathrm{W}}{(16\pi) (5.67\times 10^{-8} \mathrm{W} \mathrm{m}^{-2} \mathrm{K}^{-4}) (1.5\times 10^{11} \mathrm{m})^2}}\]
\[ T_\oplus = 278 \mathrm{K} = 5 ^\mathrm{o}\mathrm{C}\]
Resultado más que impresionante, ¿no les parece?
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