De la Luna a la Tierra

Esta es la historia de la vuelta a casa.


En la entrada anterior, calculamos que el punto de equilibrio se encuentra al 90% de la distancia entre la luna y la Tierra:

\[r = 0.9 d\]

Alguna vez se han preguntado: ¿porqué se necesitó un cohete como el Saturno V para llegar a la Luna, mientras que para volver sólo alcanzó con los pequeños motores del módulo de servicio en órbita Lunar?

Calculemos el potencial gravitatorio. Para una masa puntual, el mismo está dado por:

\[ E_g = -\frac{G M_1 m}{r}\]

donde $M_1$ es la masa del cuerpo gravitante, $m$ es la masa del cuerpo de prueba y $r$ es la distancia entre ambos. Como dijimos anteriormente, el problema que estamos analizando es una simplifiación del problema completo. Bajo esta simplificación, ¿cuál será el potencial gravitatorio porducido por la Tierra ($M_\oplus$) y la Luna ($M_L$)? El principio de superposición asegura:

\[ E_g = - \left ( \frac{G M_\oplus m}{r} + \frac{G M_L m}{d-r} \right). \]

Agrupando y reordenando tenemos:

\[ E_g = - G m \left ( \frac{M_\oplus}{r} + \frac{M_L}{d-r} \right). \]

Como es de esperar, el máximo de esta curva se produce para $r=0.9d$. Para no trabajar con números tan grandes, podemos normalizar esta ecuación al valor del potencial gravitatorio terrestre sobre la superficie de la Tierra, es decir:

\[ E_g(R_\oplus) \equiv E_0 = - G m \left ( \frac{M_\oplus}{R_\oplus} + \frac{M_L}{d-R_\oplus} \right), \]

y por lo tanto,

\[ E_g = - \frac{G m}{|E_0|} \left ( \frac{M_\oplus}{r} + \frac{M_L}{d-r} \right). \]

El gráfico de la derecha muestra el potencial normalizado. Se

ve una clara diferencia entre la barrera de potencial a vencer en el viaje hacia la Luna respecto al del viaje de vuelta. Esta enorme diferencia es la que hace que sea posible volver hacia la Tierra con un cohete pequeño: ¡sólo hay que subir un pequeño escaloncito!

Para terminar, veamos los pozos de potencial para algunos planetas y lunas del Sistema Solar, hecho por el genial creador del comic Xkcd.